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El objetivo de este sitio es dar a conocer los diferentes conceptos que engloba la lógica proposicional y así aumentar el conocimiento de cada persona que visite dicho sitio. Deseamos que te sea de mucha ayuda! BIENVENIDO!!!




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¿QUE ES LA LÓGICA?



Es una ciencia auxiliar de la Matemática, pues ayuda a comprenderla, razonarla, etc.

Para iniciar los estudios de la lógica, es necesario analizar oraciones particulares de las cuales se pueden decir que son VERDADERAS O FALSAS y reciben el nombre de proposiciones.-

*Por ejemplo:

El número 5 es un número natural

 Toda proposición es representada por las últimas letras minúsculas del abecedario:

p, q, r, s, t, w

Para ayudarte a comprender un poco mas sobre este tema puedes ver el siguiente video, esperamos que te sea de ayuda.

3.1 CONCEPTO DE PROPOSICIÓN



Es una oración aseverativa de la que tiene sentido decir que es verdadera o falsa. También podría definirse como una expresión lingüística susceptible de ser calificada de verdadera o falsa.

*EJEMPLOS

  1. El sol es agradable en primavera.(CIERTO)
  2. 36 + 63 = 99 (CIERTO)
  3. Dos es impar (FALSO)
  4. Un triangulo tiene tres lados (CIERTO)
  5. Todos los alumnos del ITM son menores de edad ( FALSO)
*Los siguientes son ejemplos de expresiones las cuales no son proposiciones
  1. El hombre más fuerte del mundo
  2. El director del periódico
  3. 13 + 7
  4. ¡Tú te callas!

3.1.2 PROPOSICIÓN COMPUESTA



Una proposición será compuesta si no es simple. Es decir, si está afectada por negaciones o términos de enlace entre oraciones (componentes).Es aquella que se compone de dos o mas proposiciones simples

  • Ejemplos:

 1 )Sen(x) no es un número mayor que 1.                    

 2)El 14 es factor del 42 y el 7 también es factor del 42.

 3) El 2 es divisor de 48 o el 3 es divisor de 48.

4)Si x es número primo, entonces x impar.        

5) No todos los números primos son impares. 




3.1.2.1 DISYUNCION



DISYUNCION

En matemáticas, una disyunción lógica, es un operador lógico que resulta verdadero si cualquiera de los operadores es verdadero. Es un enunciado con dos o más elementos optativos.

Las disyunciones de las proposiciones simples p v q ( que se lee: ” p o q”) es falsa si ambas proposiciones son falsas. El operador lógico disyunción también se denomina OR y representa la suma lógica.

EJEMPLO:

Si p es la proposición ” es un número primo” y q es ” 12 es divisible entre 3″, entonces se pueden formar las proposiciones compuestas:

p^q: ” 3 es un número primo y 12 es divisible entre 3″

pvq: ” 3 en un número  primo o 12 es divisible entre 3″

3.1.2.2 CONJUNCION



 Una conjunción es un «enunciado con dos o más elementos simultáneos». La conjunción de dos proposiciones simples p^q ( que se lee: ” p  y q”) es verdadera si ambas proposiciones son verdaderas. La conjunción (^), es una conectiva lógica que se denomina el operador lógico AND y representa el producto lógico.

Observe que la tabla de verdad para dos proposiciones simple tiene cuatro renglones que contienen todas las posibilidades o alternativas de combinación de los valores de la verdad de las proposiciones simples.

Para generalizar, si n es el número de proposiciones simples, entonces la tabla de verdad de la expresión lógica tendrá 2^n renglones, en los que aparecen todas las posibles y diferentes combinaciones de valor de verdad de las proposiciones simples.

3.1.2.3 NEGACION



Para negar una proposicion simple se emplea el símbolo ˜ de tal forma que ˜p ( que se lee”no p”), y es tal , que si p es verdadera (1), ˜p será falsa (0), y viceversa. el operador negación (˜) también se denomina NOT por razones obvias.

*EJEMPLOS:

Hay muchas maneras de negar algo:

  1.  El dinero no es la felicidad.
  2. Es falso que el dinero es la felicidad.
  3. No es el caso que el dinero es la felicidad.
  4. El dinero es cualquier cosa menos la felicidad.
  5. Es inaceptable decir que el dinero es la felicidad.
  6. Delira quien sostiene que el dinero es la felicidad.
  7. No se afirma con verdad que el dinero es la felicidad.
EJEMPLO 8.-

p.- Juan conversa

-p.- Juan no conversa

 EJEMPLO 9.-

p.-3+5=9

~p.- 3+5 no es igual a 9

3.1.2.4 CONDICIONAL


El condicional material, también conocido como implicación materialcondicional funcional de verdad o simplemente condicional, es una constante lógica que conecta dos proposiciones. El condicional material intenta ser la versión formal del condicional en el lenguaje natural, el cual se expresa por medio de palabras como las siguientes:

  • Si llueve, entonces voy al cine.
  • Voy al cine si llueve.
  • Cuando llueve, voy al cine.

Simbólicamente, el condicional material se suele denotar de las siguientes maneras:

A \to B \,
A \supset B, y en ocasiones:
A \Rightarrow B \,

Donde A y B son proposiciones cualesquiera. Las variables A y B se conocen respectivamente como el antecedente y el consecuente del condicional.

En lógica proposicional, el condicional material es una función de verdad binaria, que devuelve falso cuando A es verdadera y B es falsa, y devuelve verdadero en cualquier otro caso. En lógica de predicados, puede ser visto como una relación de subconjunto entre la extensión de predicados (posiblemente complejos).

Su tabla de valores de verdad es:

p

q

pÞq

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

V

V

3.1.2.5 BICONDICIONAL


En matemáticas y lógica, un bicondicional, también llamado equivalencia o implicación doble, es una proposición de la forma “P si y solo si Q”, en la cual tanto P como Q son ambas ciertas o ambas falsas. También se dice que Q es una condición necesaria y suficiente para P.

SÍMBOLOS

Normalmente se usa el símbolo \Leftrightarrow o ↔ para denotar esta coimplicación, quedando así: p \Leftrightarrow q.

Doble implicación de las proposiciones p y q es la proposición p Û q (se lee “p si y sólo si q”) cuya tabla de valores de verdad es

p q

p \Leftrightarrow q

VVFF VFVF

V

F

F

V

Ejemplo 1: 

p: te presto el libro

q: apruebo

Nuestra proposición será: te presto el libro SI Y SOLO SI apruebo

Ejemplo 2:

P=”Yo daré usted un penique.” Q=”Yo daré usted un Cuarto.”

 Nuestra proposición será: “Yo daré a usted un cuarto si y únicamente si yo le doy usted un penique.”

3.1.3 TABLAS DE VERDAD

Definición:

La tabla de valores de verdad, también conocida como tabla de verdad.Se emplean en lógica para determinar los posibles valores de verdad de una expresión o proposición.

DISYUNCIÓN

 La disyunción de dos proposiciones p, q es la operación binaria que da por resultado p ó q, notación p v q, y tiene la siguiente tabla:

CONJUNCIÓN

La conjunción de las proposiciones p, q es la operación binaria que tiene por resultado p y q, se representa por p^q y su tabla de verdad es:

NEGACIÓN

La operación unitaria de negación, no es cierto que se representa por “~” y tiene la siguiente tabla de verdad de verdad:


CONDICIONAL 

La condicional de dos proposiciones p, q da lugar a la proposición; si p entonces q, se representa por p → q, y su tabla de verdad está dada por:


BICONDICIONAL

La bicondicional de dos proposiciones p, q da lugar a la proposición; p si y sólo si q, se representa por p ↔ q su tabla de verdad está dada por: